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En el modelo de regresin lineal simple de y sobre x, tipicamente nos referimos a x como Variable Independiente, o Variable de la Derecha, o Variable Explicativa, o Regresor, o Covariable, o Variables de Control *[|[|      pUn Supuesto Simple La media de u, el termino de error, en la poblacion es 0. Esto es, E(u) = 0 Este no es un supuesto restrictivo ya que siempre se pueda usar b0 para normalizar E(u) a 0FZZ ZZ^Z;H    qZero Esperanza Condicional   Tenemos que hacer un supuesto crucial sobre como u y x estan relacionadas Queremos que sea el caso de que conocer algo sobre x no nos de informacion a cerca de u, es decir que ellos estan totalmente no-relacionados. Esto es, que E(u|x) = E(u) = 0, lo que implica E(y|x) = b0 + b1x  Z2     stMinimos Cuadrados Ordinarios6   La idea basica de la regresion es estimar los parametros poblacionales desde una muestra Sea {(xi,yi): i=1, & ,n} una muestra aleatoria de tamao n de una poblacion Para cada observacion en esta muestra, sera el caso que yi = b0 + b1xi + uiZa"L          x { Derivando los estimadores MCO Para derivar las estimaciones MCO debemos darnos cuenta que nuestro supuesto principal de E(u|x) = E(u) = 0 tambien implica que Cov(x,u) = E(xu) = 0 Por que? Recuerda que Cov(X,Y) = E(XY)  E(X)E(Y) ] < + | Derivando MCO, cont.  H Tenemos 2 restriciones en termino de x, y, b0 y b1 , ya que u = y  b0  b1x E(y  b0  b1x) = 0 E[x(y  b0  b1x)] = 0 Esto se llama restriciones de momentos&   / B } .Derivando MCO usando el metodo de los momentosZ ! El metodo de los momentos consiste en imponer las restriciones de los momentos poblaciones en la muestra Que significa esto? Recordad que para E(X), la media de la distribucion poblacional, un estimador simple de E(X) es simplemente la media aritmetica de las observaciones muestrales*j"L       Mas sobre la Derivacion de MCO6  Queremos elegir los valores de los parametros que nos aseguran que la version muestral de las restriciones de momentos poblaciones son ciertas La version muestral es:L      Mas sobre la derivacion de MCO6 vDada la definicion de media muestral, y las propiedades del operador suma, la primera condicion se puede escribir como    Mas sobre la derivacion de MCO6 4Llegamos a que la estimacion MCO de la pendiente es:H  +Resumen sobre la pendiente estimada por MCOZ & La pendiente estimada es la covarianza muestral entre x e y divida por la varianza muestral de x Si x e y estan positivamente correlacionadas, la pendiente sera positiva Si x e y estan negativamente correlacionadas, la pendiente sera negativa Solo se necesita que varie x en nuestra muestra'7$E]         w  Mas sobre MCO$j Intuitivamente, MCO esta ajustando una linea recta a traves de los puntos muestrales tal que la suma de los residuos al cuadrado sea tan pequea como se pueda, de ahi el nombre de Minimos Cuadrados El residuo, , es una estimacion del termino error, u, y es la diferencia entre la recta ajustada (recta de regresion muestral) y el punto u observacion muestral8k""~          u*Metodo alternativo de la derivacion de MCO6   Dada la idea intuitiva de ajustar una recta, podemos establecer un problema de minimizacion Esto es, queremos elegir las estimaciones de los parametros que minimizen la siguiente funcion:L      Metodo alternativo, cont$ Usando el calculo que habeis aprendido para minimizar una funcion, se obtienen como condiciones de primer orden las que ya obtuvisteis antes con el otro metodo, esta vez multiplicadas por nZl7  Propiedades alerbraicas de MCO $   La suma de los residuos MCO es zero Entonces la media muestral de los residuos MCO es zero tambien La covarianza muestral entre los regresores y los residuos MCO es zero La linea de regresion MCO SIEMPRE pasa a traves de la media de la muestra:  )    De forma precisa Mas terminologia$ Prueba de que SCT = SCE + SCR$Medidas de Ajuste$ Como podemos medir que bien o que mal ajusta nuestra recta de regresion a los datos muestrales? Podemos medir la fraccion de la SCT que viene explicada por el modelo, y llamarla R-cuadrado de la regresion R2 = SCE/SCT = 1  SCE/SCTVao      Insesgadez de MCO  Asume que el modelo poblaciones es lineal en los parametros y = b0 + b1x + u Asume que tenemos una muestra aleatoria de tamao n, {(xi, yi): i=1, 2, & , n}, del modelo poblacional. Entonces podemos escribir el modelo muestral yi = b0 + b1xi + ui Asume E(u|x) = 0 y entonces E(ui|xi) = 0 Asume que hay variacion en las xi&G=  5   I          6      Insesgadez de MCO (cont)  Para pensar en la insesgadez, necesitamos re-escribir nuestros estimadores en terminos de los parametros poblacionales Comencemos re-escribiendo la formula para el estimador de la pendiente        Insesgadez de MCO (cont) Insesgadez de MCO (cont)  Insesgadez de MCO (cont) !Resumen de la Insesgadez$ \ Los estimadores MCO de b1 y b0 son insesgados La prueba de insesgadez depende de nuestros 4 supuestos. Si alguno falla entonces MCO puede no ser insesgado Recuerda que insesgadez es una descripcion del estimador  en una muestra dada podemos estar  cerca o  lejos del verdadero valor del parametro`/           "Varianza de los estimadores MCO6   Ahora sabemos que la distribucion muestral de nuestros estimadores esta centrada alrededor del verdadero parametro Queremos pensar sobre la dispersion de esta distribucion Esto es mas facil con el siguiente supuesto adicional Asume Var(u|x) = s2 (Homocedasticidad)N Z        %Varianza de MCO (cont)  Var(u|x) = E(u2|x)-[E(u|x)]2 E(u|x) = 0, asi que s2 = E(u2|x) = E(u2) = Var(u) Entonces s2 es tambien la varianza incondicional, llamada varianza del error s, la raiz cuadrada de la varianza se le llama la desviacion tipica del error Podemos decir: E(y|x)=b0 + b1x y Var(y|x) = s2Z C_^'     $#&Varianza de MCO (cont) 'Resumen varianza de MCO$ Cuanto mas grande sea la varianza del error, s2, mas grande es la varianza del estimador de la pendiente poblacional Cuanto mas grande sea la variabilidad en las xi, mas pequeo sera la varianza del estimador de la pendientee Entonces, una muestra mas grande debe reducir la varianza de dicho estimador Problema: la varianza del error, como parametro poblacional que es, es desconocida \Z. t R      ! ( Estimanado la Varianza del Error$   No sabemos cual es la varianza del error, s2, porque no observamos los errores, ui Lo que observamos son los residuos, i Podemos usar los residuos para construir un estimador de la varianza de los erroresl+$' (Up     )*Estimacion de la Varianza del Error (cont)$ **Estimacion de la Varianza del Error (cont)$ /, ` @EoOV` @Eff؂o` MMMwww` 33f3Ƨgzf` 3ffE` JH3f̙ff` 33̙fRP` =bf>?" dd@,?wnd@ n< w_@nA``< n?" dd@   @@``PP   @ ` ` p>> ''CF2'(  !T   "b  # " \   "B  HDA "B  HDA "B  HDA "@@B  HDA "B   HDA "B   HDA "B   HDA "@@B   HDA "B   HDA "B  HDA "B  HDA "@@B  HDA "  B  HDA "  B  HDA "  B  HDA "@ @ B  HDA "  B  HDA "  B  HDA "  B  HDA "@@B  HDA "B  HDA "B  HDA "z\   "B  HDA "B  HDA "B  HDA "@@B  HDA "B   HDA "B ! HDA "B " HDA "@@B # HDA "B $ HDA "B % HDA "B & HDA "@@B ' HDA " B ( HDA " B ) HDA " B * HDA "@ @ B + HDA " B , HDA " B - HDA " B . 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